العلم في صور

العلم في صور

أشكال إيشر المجازية

إن صور ورسوم <موريتس إيشر>

تعطي انطباعا حسيا عن المفاهيم المجردة التي ترد في الرياضيات والعلوم الأخرى.

<D.سكاتسشنايدر>

 

يضم شريط موبيوس II موكبا من النمل الذي يزحف في دورة لا تنتهي. وبالاستعانة بعدد منته من الأشكال، يصور إيشر اللانهاية من خلال اجتياز مستمر لعروة لا تنتهي. ومما َيْعرضه النمل أيضا هو أن لهذه العروة غير المألوفة (المطبوعة في الأصل رأسيا) جانبا واحدا فقط.

شريط موبيوس  Möbius II (عام 1963)

 

كان <C.M.إيشر> Maurits Cornelis Escher (كان يستعمل الحرفين .C .M فقط) يؤكد طوال حياته أنه عاجز عن فهم الرياضيات وأنه «لم يتلق البتة أي تدريب على العلوم الدقيقة وليس له أي دراية بها». بَيْد أنه كان منذ نعومة أظفاره مفتونا بالترتيب والتناظر. وقد قاده هذا الافتتان إلى دراسة أنماط رصف أحجار الآجر في قصر الحمراء بمدينة غرناطة، وإلى التمعن في الرسوم الهندسية في أوراق البحوث الرياضياتية (عملا بنصيحة أخيه الجيولوجي)، وأخيرا إلى مواصلة دراساته الفريدة حول تَكْسِيَة المستوي بالآجر tiles.

صورة ذاتية (عام 1943) <C.M. إيشر> وهو يشاهد نفسه في مرآة. وقد أنجز إيشر هذا الرسم باستخدام الطباعة الحجرية

 

إن اهتمام إيشر بتلوين رسومه للآجر المتشابك بعضه ببعض قد سبق اهتمام علماء الرياضيات والبلوريات في حقل التناظر اللوني color symmetry. وتُستخدم أعماله حاليا، على نطاق واسع، في إيضاح المفاهيم الواردة في هذين العِلْمين. وقد كان لمعرضه، الذي أقيم أثناء انعقاد المؤتمر الدولي للرياضياتيين (.I.C.M) في أمستردام عام 1954، ولأول كتاب صدر له عام 1959 بعنوان (The Graphic Work of M.C. Escher)، صدى واسع بين الرياضياتيين والعلماء مازال يتردد بقوة إلى يومنا هذا. وقد كتب بأن الدافع الرئيسي لأعماله كان «الاهتمام الشديد بالقوانين الهندسية geometric التي تحكم الطبيعة حولنا». ولدى التعبير عن أفكاره في أعماله التخطيطية (البيانية) graphic، فإنه قدم أشكالا مجازية رائعة للأفكار الأساسية الواردة في العلوم.

 

وُلد إيشر عام 1898 في مدينة ليڤاردن بهولندا، وكان أصغر أبناء مهندس مدني، وقد ترعرع هو وإخوته الأربعة في مدينة أَرْنْهِم. وعلى الرغم من أن ثلاثة من إخوته درسوا العلوم أو الهندسة، فإن إيشر كان ضعيفا في الرياضيات. وبتشجيع من معلم الفنون في مدرسته الثانوية، غدا إيشر مهتما بالفنون التخطيطية، وكان أول ما عمله هو تفصيل المشمّعات المخصصة لفرش أرض الغرف.

 

وفي عام 1919 التحق بمدرسة العمارة والفنون التزيينية في مدينة هارلم كي يدرس الفن المعماري. لكنه عندما عرض أعماله على <J.S. دي ميسْكيتا> الذي كان يعلّم الفنون التخطيطية هناك، شجعه هذا الأستاذ على الاهتمام بهذا الموضوع. وقد كان للأستاذ دي ميسكيتا تأثير قوي في إيشر، سواء معلما (لا سيما في تقنيات صنع الكليشيهات الخشبية)وفيما بعد صديقا وزميلا من الفنانين.

 

وبعد أن أنهى إيشر دراساته في هارلم، استقر في روما وقام بعدة أعمال تخطيطية واسعة خلال جولات خصص معظمها لجنوبي إيطاليا. وقد ميزت عيناه هناك أشكالا مثيرة للصور الذهنية في التفصيلات المعمارية العادية للصروح التذكارية، وفي تجمعات البيوت الممتدة من منحدرات الجبال إلى قاع الوديان، وكذلك في التفصيلات الصغيرة للطبيعة كما لو كنا نراها من خلال عدسة مكبرة. وكان يقوم في الاستوديو الخاص به بتحويل هذه الانطباعات البصرية إلى كليشيهات خشبية وأشكال يطبعها على الأحجار.

 

نظام المثلثات I B3، النموذج 2 (عام 1948)

إن التناظر مفهوم بنيوي structural يجسد الكثير من النماذج الرياضياتية والفيزيائية. وفي رسم إيشر هذا يبدو أن الفراشات تملأ الصفحة عشوائيا، لكن الواقع هو أنه حدد موضع وجوار كل منها بالأسلوب نفسه تماما. فعلى الدوام تلتف ست منها (بألوان متناوبة) حول نقطة تلتقي فيها أطراف الأجنحة اليسرى الأمامية، كما أن ثلاثا منها (بألوان مختلفة) تدور على الدوام حول نقطة تتلامس فيها الأجنحة اليمنى الخلفية، وتشكل دائما الأزواج (بألوان مختلفة) صفوفا بأطراف أجنحتها اليمنى الأمامية. وفضلا عن التناظر الدوراني، فللرسم تناظر انسحابي مبني على شبكة من المثلثات. ويمكن لهذا النموذج أن يستمر إلى الأبد في جميع الاتجاهات، وهذا يوفر تمثيلا مجازيا ضمنيا للانهاية. وقد سبق اهتمام إيشر بالتلوين اكتشافات علماء الرياضيات في حقل التناظر اللوني.

 

نهاية الدائرة IV (عام 1960)

ربما كانت الثنوية duality الموضوع الغالب على طبعات إيشر الأخيرة. ففي الرياضيات يوجد لكل مقولة نفي، ولكل مجموعة متممة لها؛ وفي كل حالة فإن الشيء وثنويته يتمم كل منهما الآخر. وفي «نهاية الدائرة IV» لا وجود لحدود، إذ إن كِفافات (محيطات) contours الملائكة والشياطين يحدد بعضها بعضا، وإن كل واحد من هؤلاء هو شكل أو خلفية (يذكّرنا إيشر بحذف التفصيل في نصف الأشكال). وفي هذا الرصف الزائدي hyperbolic تبدو الأشكال لأعيننا الإقليدية Euclidean أنها تزداد تشوها كلما صغر حجمها. بيد أنه لدى إجراء القياس وفق الهندسة الخاصة بعالم هذا الرسم، فإنه يكون لكل الملائكة القدر والشكل نفسهما، وكذلك الأمر بالنسبة للشياطين. وكل عدد غير منته من النسخ يتكرر أبدا، من دون أن يتجاوز البتة حدود الدائرة.

 

نهاية المربع (عام 1964)

يجري إيضاح التشابه الذاتي في طبعة «نهاية المربع» التي رسمت باتباع منهج تكراري ابتكره إيشر. إن مجموعة الاتجاهات التي تطبق على شيء لتوليد أشياء جديدة، تطبق بعدئذ على هذه الأشياء الجديدة، وهكذا تعاد العملية من دون حدود، تسمى هذه العملية خوارزمية تكرارية. وتكون الحصيلة النهائية تشابها ذاتيا حين تكون الأشياء النهائية مماثلة تماما للأولية، باستثناء حدوث تغيرات في المقياس والتوجيه والموضع. والمخطط (في أعلى اليسار) المرسل من إيشر إلى عالم الرياضيات <M .S .H. كوكسيتر> لتفسير الطبعة يوضح أن الشبكة التحتية تتضمن تقسيما تكراريا للمثلثات المتساوية الساقين. ومن أجل تنفيذ الطبعة قام إيشر بنحت الكليشيه الخشبية لمثلث واحد فقط، رأسه في مركز المربع وقاعدته أحد أضلاع المربع ـ ثم طبع الكليشيه أربع مرات.

 

وفي عام 1935 أضحى الوضع السياسي لا يطاق، وإذ ذاك غادر إيشر وزوجته وأولاده الصغار إيطاليا نهائيا. وبعد أن قضوا سنتين في سويسرا ثم ثلاثا في أوكلي قرب بروكسل، استقروا على نحو دائم في بارن بهولندا. وقد أحدثت هذه السنوات انعطافا في مجرى أعمال إيشر، فجميع أعماله تقريبا لم تعد تستمد إلهامها مما تلاحظه عيناه، بل مما يتصوره. فأخذ يعرض تعبيرات بصرية للمفاهيم، كما أخذ يمثل بالصور النواحي الغامضة في الملاحظة والفهم البشري. وفيما كان يقوم بذلك، ألفى نفسه في كثير من الأحيان في عالَم محكوم بالرياضيات.

 

كان إيشر مفتونا، بل مأسورا إلى حد ما بمفهوم «التقسيم المنتظم للمستوي». وخلال حياته أنجز أكثر من 150 رسما ملونا شهدت على عبقريته في توليد أشكال زاحفة وسابحة ومحلّقة. وهذه الرسوم والأشكال توضح تناظرات من أنواع مختلفة عديدة. لكن تقسيم المستوي كان، بالنسبة إلى إيشر، وسيلة لإدراك مفهوم اللانهاية. وعلى الرغم من أن عملية الرصف، كتلك التي تستعمل الفراشات [انظر الشكل السفلي في الصفحة 38] يمكن مواصلتها من حيث المبدأ على نحو غير محدود، وهذا يوحي باللانهاية، فإن ما كان يُغري إيشر هو فكرة التعبير عن اللانهاية ضمن حدود الصفحة الواحدة.

 

الليل والنهار (عام 1938) البعد dimension هو ذاك المفهوم الذي يميز بوضوح بين النقطة والخط والمستوي والفضاء. وبغية إيضاح الغموض في هذا المفهوم، استغل إيشر الصفحة المطبوعة ـ التي لا بد من أن تخدع الناظر إليها حين تصوّر منظرا ثلاثي الأبعاد. وفي «الليل والنهار» تُمسخ الرقعة المنبسطة للأرض الزراعية في أسفل الطبعة إلى سربيْن من الإوز. وتوضح الطبعة أيضا مفهوم التغير الطبولوجي الذي يتشوه وفقه شكل من دون تقطيعه أو خرقه. كذلك فإن الانعكاس والثنوية موجودان هنا أيضا: فالإوز الأسود يطير فوق قرية مضاءة بنور الشمس، في حين أن الإوز الأبيض يرفرف بجناحيه فوق منظر ليلي يشكل خيالا مرآويا للمنظر نفسه.

 

مرتفَع ومنخفَض (عام 1947) يترتب على النسبية relativity أن ما يراه راصد يتأثر بالمحيط الذي يوجد فيه. وفي الطبعة الحجرية lithograph بعنوان «مرتفع ومنخفض»، يمثل إيشر منظرين مختلفين في الشكل نفسه. ففي النصف الأسفل نرى الناظر في الفناء، وفي النصف العلوي يوجه الناظر طرْفه نحو الأسفل. والآن ابتعد عن الطبعة وأجب عن السؤال التالي: هل ذلك الشكل الرباعي الموجود في مركز الشكل أرض أم سقف؟ إن إيشر يستعمله لكل منهما بغية مزاوجة المنظرين. ومن المستحيل رؤية الطبعة بكاملها بطريقة منطقية. هذا ويوضح المنظر أيضا، كيف أن لصق مناظر بعضها ببعض لتكوين كل شامل يمكن أن يؤدي إلى تناقضات.

 

وقد كتب إيشر أن «كل من يغوص في اللانهاية، في كل من الزمان والمكان ويتعمق فيها من دون توقف، بحاجة إلى نقاط مثبتة، تكون بمثابة معالم في طريقه أثناء انطلاقه بسرعة، لأنه إذا لم يتحقق ذلك تعذر عليه التمييز بين حركته ووقوفه ساكنا. ويتعين عليه أن يجزئ عالمه إلى واحدات لها أطوال محددة وإلى أقسام منفصلة يكرر كل منها الآخر بتعاقب لا ينتهي.»

 

وبعد إتمام عدة رسوم تتضاءل أحجام أشكالها بلا تناهٍ وهي تقترب من نقطة تلاشٍ مركزية [انظر الدوامات Whirlpools  في الصفحة المقابلة]، فإن إيشر كان يبحث عن وسيلة يمثل بها الأشكال الآخذة في الصغر في الاتجاه المعاكس. لقد كان يريد أشكالا تتكرر أبدا مقتربة من حد يحيط بها ـ من دون أن تدرك هذا الحد قط. وفي عام 1957 بعث الرياضياتي <M .S .H. كوكْسيتَر> إلى إيشر نسخة عن مقالة له أوضح فيها التناظر في المستوي مستعينا ببعض رسوم إيشر. وقد وجد إيشر في هذه المقالة ما أحدث له «صدمة» ـ إنه شكل زائدي مؤلف من مثلثات يبين تماما ما كان ينشده. ولدى تفحص إيشر لهذا الشكل بدقة، توصل إلى قوانين الرصف التي يمكن باتباعها جعل الأقواس الدائرية تلاقي حدود الدائرة المحيطة بزوايا قائمة. وخلال السنوات الثلاث التالية أنجز إيشر أربع طبعات مختلفة تستند إلى هذا النمط من الشبكات grids، كان آخرها نهاية الدائرة Circle Limit IV. [انظر الشكل العلوي في الصفحتين 38 و 39].

 

البركة الصغيرة (عام 1952)

يسمح الانعكاس بالملاحظة المباشرة للظواهر الطبيعية ذات التفصيلات الصغيرة جدا، أو البعيدة جدا، أو المبهمة جدا. إن هذه اللوحة توجه أنظارنا إلى ممر في غابة عليه آثار أحذية وعجلات سيارات. بيد أنه يظهر أيضا في البركة الصغيرة صورة ظلّية لأشجار ترتفع متجهة نحو السماء في ليلة مقمرة. إن إيشر يذكّرنا بالعوالم غير المرئية فوق آفاقنا المحدودة وخلفها وتحتها.

 

اللانهاية مقيدة ضمن فضاء منته في طبعة الدوامات Whirlpools. ويرسم الفنان مسقطا مستويا لمنحن (لكسودروم loxodrome) مرسوم على الكرة الأرضية بحيث يقطع جميع خطوط الطول بزاوية ثابتة. وكما هو معلوم لأي بحار، فإن الإبحار وفق هذا الخط الذي يصنع مع خطوط الطول زاوية ثابتة يجعله يدور في النهاية حول القطب في مسار يضيق باستمرار حول قطب الأرض من دون أن يبلغ القطب. وقد استعمل إيشر كليشيه (رَوْسم) خشبية واحدة لكلا اللونين. فبعد أن طبع باللون الأحمر، أدار الكليشيه نصف دورة وطبع باللون الرمادي.

 

وبعد مضيّ أربع سنوات ابتكر إيشر حله الخاص لمسألة اللانهاية داخل مستطيل [انظر الشكل السفلي في الصفحة 39]. وتولِّد خوارزميته التكرارية ـ وهي مجموعة من الاتجاهات تُطبَّق تكراريا على شيء ما ـ نموذجا ذاتي التشابه كل عنصر فيه لا يختلف عن العنصر الآخر إلا بتغيير في المقياس فقط. وقد أرسل إيشر إلى كوكسيتر مخططا لهذه الشبكة وأرفقها باعتذار جاء فيه: «أخشى ألا يكون الموضوع مثيرا للاهتمام كثيرا إذا نظرنا إليه من وجهة نظرك الرياضياتية، إذ إنه بسيط حقا من حيث كونه تعبئة لمستوٍ. ومع ذلك، فإن التوصل إلى أسلوب ملائم لتنفيذ الموضوع بأبسط طريقة ممكنة ليس بالمهمة السهلة.» وفي محاضرة ألقاها منذ عدة سنوات عالم الرياضيات <P .W. ثيرْسْتون> (مدير معهد بحوث العلوم الرياضياتية بجامعة كاليفورنيا في بركلي) أوضح هذا العالم مفهوم الرصف ذاتي التشابه self-similar مستعينا بشبكة مماثلة تماما من دون سابق معرفة باكتشاف إيشر.

 

ومن اللافت للنظر أن الأنماط ذاتية التشابه توفر أمثلة على أشكال لها بُعْد كسري fractional أو فراكتلي (كسوري) fractal، لا بد من أن يكون إيشر قد استمتع بغموضها. وفي عام 1965 أقر قائلا: «لا أستطيع إلا أن أحاكي باستهزاء جميع حقائقنا اليقينية التي لا ريب فيها. فمن المثير جدا، مثلا، أن أخلط عمدا بين البعدين والثلاثة أبعاد، والمستوي والفضاء، وأن أسخر من الثقالة (الجاذبية الأرضية) gravity». لقد كان «إيشر» أستاذا في الخلط بين الأبعاد كما فعل في رسم الليل والنهار Day and Night [انظر الشكل العلوي في الصفحة 400]، حيث تُمْسَخ مزارع ثنائية البعد على نحو خفي إلى إوزّ ثلاثي البعد. لقد كان يبتهج أيضا بإبراز الغموض والتناقضات المتأصِّلة في الممارسات العلمية: فكان، على سبيل المثال، يلصق معا عدة مناظر محلية لشيء ما ليكون كُلاّ شاملا [انظر الشكل السفلي في الصفحة 40].

 

وقبيل وفاته (عام 1972) كتب إيشر يقول: «إنني قبل كل شيء سعيد بما قمت به من اتصالات علمية بالرياضياتيين وبالصداقة التي كونتها معهم من خلال ذلك. فكثيرا ما كانوا يمدونني بأفكار جديدة، وفي بعض الأحيان كان يحدث أيضا تفاعل بيننا. كم يمكن لهؤلاء السيدات والسادة الضليعين في العلم أن يكونوا أيضا مصدر دعابة!»

  

المؤلفة

Doris Schattschneider

أستاذة للرياضيات في Moravian College بمدينة بيت لحم بولاية بنسلفانيا. حصلت على الدكتوراه من جامعة ييل عام 1966، وفضلا عن نشاطها في التدريس والكتابة وإلقاء المحاضرات، فإن لهذه السيدة، التي كانت سابقا محررة في مجلة الرياضيات Mathematics Magazine، اهتمامات واسعة بالفنون وعلم الهندسة. وقد اشتركت مع <W. ووكَر> في تأليف كتاب مبسط يحوي نماذج هندسية بعنوان M. C. Eshcer Kaleidocycles . وقد توج كتابها Visions of Symmetry، الذي صدر عام 1990، مشروع بحث حول دراسات <C .M. إيشر> في التناظر.

 

مراجع للاستزادة 

THE GRAPHIC WORK OF M. C. ESCHER. Ballantine Books, 1971.

THE MAGIC MIRROR of M.C. ESCHER. B. Ernst. Random House, 1976.

ANGELS AND DEVILS. H.S.M. Coxeter in The Mathematical Gardner. Edited by David A.Klarner. Prindle, Weber and Schmidt, 1981.

M. C. ESCER: HIS LIFE AND COMPLETE GRAPHIC WORK. Edited by J.L. Locher. Harry N. Abrams, 1982.

M. C. ESCHER: ART AND SCIENCE. Edited by H.S.M. Coxeter, M. Emmer, R.Penrose and M.L. Teuber. North-Holland, 1986.

ESCHER ON ESCHER: EXPLORING THE INFINITE. M.C. Escher. Translated by Karin Ford. Harry N. Abrams, 1989.

VISIONS OF SYMMETRY: NOTEBOOKS, PERIODIC DRAWINGS, AND RELATED WORK OF M. C. ESCHER. D. Schattschneider. W. H. Freeman and Company, 1990.

Scientific American, November 1994