عالم رياضيات يحل مشكلة عمرها قرون حول الرقم 33

بقلم: دونا لو

ترجمة: وضحة الشلال

ما الذي ستحصل عليه عند جمع ثلاثة أرقام مكعبة؟ سؤال حيَّر علماء الرياضيات عبر قرون عدة.
في عام 1825 أثبت عالم الرياضيات إس. رايلي S.Ryley إمكان تمثيل أي كسر على أنه مجموع ثلاثة كسور مكعبة. وفي خمسينات القرن الـ20 طرح عالم الرياضيات لويس موردل Louis Mordell سؤالاً عما إذا كان الأمر ذاته ينطبق على الأعداد الصحيحة، أو الأعداد الكلية. وبمعنى آخر، فهل هناك أعداد صحيحة k، x، y و z بحيث k = x3 + y3 + z3 لكل قيمة ممكنة لـ k؟

«من السهل حقّاً إيجاد حلول لـ 29، ونحن نعرف حلاً لـ 30، لكننا لم نتوصل إلى ذلك حتى عام 1999، وحينها كانت الأرقام لا تزال بالملايين.» أندرو بوكر Andrew Booker

ما زلنا نجهل الجواب. «كان من الواضح منذ فترة طويلة أن هناك مشكلات في الرياضيات يسهل تحديدها، لكن يستعصي حلها،» كما يقول أندرو بوكر Andrew Booker من جامعة بريستول University of Bristol في بريطانيا، ومبرهنة فيرما الأخيرة Ferma’s Theorem خير مثال.

حقق بوكر تقدماً في حل مشكله المكعب Cube problem بإيجاد مجموع للرقم 33، وهو المثال الأقل حلاً في السابق. واستخدم بوكر خوارزمية حاسوبية للبحث عن ناتج:
33 = 8,866,128,975,287,5283 + (-8,778,405,442,862,239)3 + (-2,736,111,468,807,040)3

لتقليل وقت الحساب، حذف البرنامج مجموعات معينة من الأرقام. ويقول بوكر: «على سبيل المثال، إذا كانت كل من x و y و z صحيحة وكبيرة، فلن تكون x3 + y3 + z3 أرقاما صغيرة.» ومع ذلك، استغرق الأمر 15 عامًا من وقت معالجة الحاسوب وثلاثة أسابيع من الوقت الحقيقي لحساب النتيجة.

بالنسبة إلى بعض الأرقام، فإن إيجاد حل للمعادلة k = x3 + y3 + z3 أمر بسيط، لكن بالنسبة إلى البعض الآخر يتضمن سلاسل ضخمة من الأرقام. يقول بوكر: «من السهل حقّاً إيجاد حلول لـ 29، ونحن نعرف حلاً لـ 30، لكننا لم نتوصل إلى ذلك حتى عام 1999، وحينها كانت الأرقام لا تزال بالملايين.»
مثال آخر هو الرقم 3 الذي له حلّان بسيطان: 13+13+13 و 3(5-)+ 43+43. يقول بوكر: «ولكن حتى هذا اليوم، ما زلنا نجهل إذا ما كان هناك المزيد.»

هناك أرقام معينة نعلم حتما أنها لا يمكن أن تكون مجموع ثلاثة مكعبات، بما في ذلك 4 و 5 و 13 و 14 وغير ذلك الكثير.
ولم نعثر على الحل للعدد 74 في عام 2016، وبذلك يبقى 42 العدد الوحيد الأقل من 100 الذي لم نعثر على حل له حتى الآن. ولايزال هناك 12 عدداً أقل من 1000 لم يُعثر لها على حل.