الأعداد الأغرب في نظرية الأوتار

الأعداد الأغرب في نظرية الأوتار^(*)

نظام أعداد جرى تجاهله طويلا وقد ابتكر في القرن التاسع عشر،
يوفر أبسط شرح لتبيان لِمَ يمكن أن يكون كوننا ذا عشرة أبعاد.

<C .J. بييز> – <J. هويرت>

 

باختصار    لقد اعتاد معظمنا على استخدام الأعداد «الحقيقية»، لكن هناك أنماطا أخرى من الأعداد، ومن بينها، بل أشهرها المسماة أعداد عقدية التي تتضمن الجذر التربيعي لـ (-1). يمكننا أيضا إنشاء نظم أعداد متعددة الأبعاد. غير أننا لا نستطيع بهذه النظم تعريف العمليات الأربع الأساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة إلا في بضع حالات خاصة. ومن بين تلك الحالات توجد المِثمانيات octonions، وهي نظام أعداد ثماني الأبعاد. لقد ابتكره الرياضياتيون نحو عام 1840، ووجد بضعة تطبيقات، لكنه حظي باهتمام أكثر بعد مضي نحو 150 عاما. ويتوقع الرياضياتيون اليوم بأن المِثمانيات يمكن أن تساعدنا على إدراك أبحاث متقدمة في فيزياء الجسيمات particle physics، في حقول مثل: التناظر الفائق supersymmetryونظرية الأوتار string theory.

 

في طفولتنا درسْنا جميعا موضوع الأعداد. وبدأنا بالعدّ متبوعا بعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. ولكن الرياضياتيين يعلمون أن نظام الأعداد الذي تعلمناه في المدرسة ما هو إلا واحد من بين نظم كثيرة. فهناك نظم أخرى من الأعداد المهمة لفهم الهندسة والفيزياء. ومن بين أغرب البدائل ذلك المسمى المِثْمَانيات octonions. كانت المِثْمَانيات قد أُهملت إهمالا كبيرا منذ اكتشافها عام 1843، غير أن نظرية الأوتار⁽¹⁾ string theory  رجّحت إبان العقود القليلة الماضية أن المثمانيات ذات أهمية مدهشة. وحقا، إذا كانت نظرية الأوتار تمثل الكون تمثيلا صحيحا، فإن المثمانيات قد تفسّر لِمَ يمتلك الكون عدد الأبعاد التي لديه.

التخيّلي صنع الحقيقي^(**)

لم تكن المثمانيات أول موضوع في الرياضيات البحتة يُستخدَم لاحقا لتحسين فهمنا للكون. كما لم تكن البديل الأول لنظام أعداد أثبِت لاحقا بأن له استخدامات عملية. وحتى ندرك السبب، ينبغي أولا أن ننظر إلى أبسط نظم الأعداد – نظام الأعداد الذي تعلمناه في المدرسة – التي يسميها الرياضياتيون الأعداد الحقيقية real numbers. فمجموعة جميع الأعداد الحقيقية تشكل خطاline، ومن ثمّ نقول إن مجموعة الأعداد الحقيقية وحيدة البعد. كما يمكننا قلب هذه الفكرة على عقِبِها، فنقول: إن الخط وحيد البعد لأن تحديد نقطة عليه يتطلب عددا حقيقيا واحدا.

قبل القرن الخامس عشر كانت الأعدادُ الحقيقية الوحيدةَ السائدة. وفي إبان النهضة حاول رياضياتيون طموحون حلّ المزيد من المعادلات المعقدة الشكل، بل تنافسوا لرؤية من سيتمكن من حلّ مسائل أكثر تعقيدا. وهكذا أُدخل الجذر التربيعي لـ -1 كنوع من أنواع الأسلحة السرية من قِبَل الرياضياتي والفيزيائي والمقامر والمنجّم <C. كاردانو>. وفي الوقت الذي كان يعارضه آخرون مضى <كاردانو> يستخدم بجرأة هذا العدد اللغز كجزء من حسابات طويلة تفضي الأجوبة عنها عادة إلى أعداد حقيقية. ولم يكن يدري لماذا كانت هذه الحيلة بتلك الفعالية، وكان كل ما يعلمه هو أنها تؤدي إلى أجوبة صحيحة. وقد نشر أفكاره عام 1545، وهكذا فُتح باب جدل دام طويلا: هل الجذر التربيعي لـ -1 موجود فعلا، أو إنه مجرد حيلة؟ فبعد نحو 100 سنة أصدر المفكر الكبير <R. ديكارت> حكمه، حيث أطلق على هذا الجذر الاسم الازدرائي تخيّلي imaginary الذي نرمز إليه اليوم بـ i.

 

ومع ذلك، سار الرياضياتيون على خطى <كاردانو> وانطلقوا في العمل بالأعداد العُقدية complex numbers – وهي أعـداد من الشكل a + bi، حـيث a و bعددان حقيقيان عـاديان. وفي حـوالي 1806 قـام <R-J. أرگند> بتعميم الفكرة القائلة إن الأعداد العقدية تصف النقاط على المستوي. كيف يصف العدد a + biنقطة من المستوي؟ هذا أمر بسيط: فالعدد a يدلنا على مدى بُعد النقطة من جهة اليسار أو اليمين، في حين يدلنا b على بعدها نحو الأعلى أو الأسفل.

وبهذه الطريقة، يمكن أن نرى أي عدد عقدي كنقطة في المستوي، لكن <أرگند> تقدم خطوة إلى الأمام. لقد أوضح كيف ينبغي النظر إلى العمليات التي نقوم بها عند استخدام الأعداد العقدية – عمليات: الجمع، الطرح، الضرب والقسمة – كعمليات هندسية في المستوي [انظر الإطار السفلي في الصفحة 29].

ولكي نمهّد لإدراك كيف يمكن رؤية تلك العمليات كعمليات هندسية، دعنا نفكر في الأعداد الحقيقية. إن جمع أو طرح أي عدد حقيقي يزيح الخط الحقيقي نحو اليمين أو اليسار. أما الضرب في أي عدد موجب أو القسمة عليه فهو يمدد أو يقلص الخط الحقيقي. وعلى سبيل المثال، فالضرب في 2 يمدد هذا الخط بعامل 2، في حين تقلص القسمة على 2 الخط، بتقليص المسافة بين جميع النقاط مرتين عما كانت عليه. أما الضرب في -1 فيقلب الخط.

ويطبق الإجراء نفسه في حالة الأعـداد العقدية بعد مجرد تحويرات إضافية. فجمع أي عدد عقدي a + bi مع نقطة في المستوي يزيح هذه النقطة يمْنَةً (أو يسْرَةً) بمقدار a، وإلى الأعلى (أو الأسفل) بمقدار b. أما الضرب في عدد عقدي فهو يمدد أو يقلص، وفي آن واحد يدير المستوي العقدي. وبصفة خاصة، يدير الضرب في i المستوي ربع دورة. وهكذا، إذا ضربنا 1 في i مرتين، فإننا ندير المستوي نصف دورة كاملة من نقطة الانطلاق إلى نقطة الوصول –1. والقسمة هي العملية العكسية للضرب، فلكي نقسم يكفي التقليص بدل التمديد، أو بالعكس، ثم يُجْرَى دوران في الاتجاه المعاكس.

فتقريبا، جميع ما يمكن عَمله بالأعداد الحقيقية يمكن عمله بالأعداد العقدية. وبالفعل، فمعظم الأمور تسير بشكل أفضل – وكان <كاردانو> يعلم ذلك – لأننا نستطيع حلّ المزيد من المعادلات باستخدام الأعداد العقدية مقارنة بما تسمح به الأعداد الحقيقية. ولكن إذا كان نظام الأعداد الثنائي الأبعاد يتيح للمستخدم قدرة حسابية إضافية، فماذا عن نظم أعداد أبعادها أكثر؟ وللأسف، فقد تبيّن أن تعميما بسيطا من هذا القبيل أمر مستحيل. فبعد عدة عقود اكتشف عالم رياضيات إيرلندي سرّ نظم الأعداد الكثيرة الأبعاد. والآن فقط، وبعد مضي قرنين من الزمن، بدأنا ندرك القوة التي يمكن أن تمتلكها تلك النظم.

خيمياء هَمِلتون^(***)

في عام 1835، اكتشف الرياضياتي والفيزيائي <R .W. هملتون>، وعمره 30 سنة، كيف يمكن التعامل مع الأعداد العقدية كأزواج pairs أو ثنائيات أعداد حقيقية. وقد درج الرياضياتيون على كتابة الأعداد العقدية على الشكل a + biالذي عمّمه <أرگند>، لكن <هملتون> أشار إلى أننا مخيّرون في اعتبار العدد a + bi مجرد طريقة خاصة يكتب بها عددان حقيقيان – مثلا (a, b).

وقد يسّر هذا الرمز كثيرا جمع وطرح الأعداد العقدية – يكفي جمع أو طرح الأعداد الحقيقية المتقابلة في الزوج. وكان <هملتون> قد أتى أيضا بقواعد إضافية تسمح بضرب وقسمة الأعداد العقدية بشكل تحافظ فيه على المعنى الهندسي⁽²⁾ الجميل الذي اكتشفه <أرگند>.

وبعد أن ابتكر <هملتون> هذا النظام الجبري للأعداد العقدية الذي يتحلى بمعنى هندسي، حاول خلال عدة سنوات ابتكار جبر⁽³⁾ أوسع خاص بالثلاثيات triplet قد يؤدي دورا مماثلا في الهندسة الثلاثية الأبعاد، وهو مجهود لطالما خيّب آماله. فقد كتب مرة إلى ابنه قائلا: «كل صباح… عند نزولي لتناول الفطور اعتاد أخوك الصغير (آنذاك)، وأنت أيضا، طرح هذا السؤال: «حسنا، يا أبتِ، هل يمكن أن تضرب الثلاثيات؟» وكنت دائما مرغما على الإجابة ورأسي يتأرجح حزنا: كلا، بل أستطيع فقط جمعها وطرحها.» مع أنه لم يكن يعلم آنذاك أن الهدف الذي رسمه لنفسه أمر مستحيل رياضياتيا.

كان <هملتون> يبحث عن نظام أعداد ثلاثي الأبعاد يمكنه فيه الجمع والطرح والضرب والقسمة. وكانت القسمة أصعب العمليات: فنظام الأعداد الذي يمكن أن نقسم فيه يدعى جبر قسمة division algebra. وكان ينبغي انتظار عام 1958 ليبرهن ثلاثة رياضياتيين على نتيجة مذهلة كانت متوقعة منذ عقود: لا بد أن يكون كل جبر قسمة ذا بعد واحد (وهو بالضبط الأعداد الحقيقية) أو ذا بعدين (وهو الأعداد العقدية) أو ذا أربعة أو ثمانية أبعاد. وكان على <هملتون> أن يغيّر قواعد اللعبة ليحقق مبتغاه.

إذا كانت نظرية الأوتار صحيحة فإن المثمانيات تزودنا بالسبب العميق لماذا يجب أن يكون للكون 10 أبعاد.

 

لقد قدّر <هملتون> بنفسه حلا في 16/12/1843. فقد كان يسير برفقة زوجته على ضفاف القناة الملكية متوجها إلى دبلن لحضور اجتماع تنظمه الأكاديمية الملكية الإيرلندية حين خطرت بباله فكرة نيّرة: ربما لا يكون ممكنا في ثلاثة أبعاد وصف الدورانات والتمديدات والتقلصات بثلاثة أعداد لا غير. فقد كان بحاجة إلى عدد رابع مولدا بذلك مجموعة رباعية الأبعاد سمّيت مِرْباعيـاتquaternions تـأخذ الشـكـل a + bi + cj + dk، حيث الأعداد k, j, i هي ثلاثة جذور تربيعية مختلفة لـ -1.

وقد كتب <هملتون> بعد ذلك: «شعرت عندئذ وفي ذلك المكان بأن الدارة العصبية للتفكير قد انغلقت، وأن الشرارات التي تنبعث منها كانت تلك المعادلات الأساسية بين k, j, i؛ تماما كما استخدمتُها منذ ذلك الحين.» وفي أداء متميّز ذي طابع تخريبي رياضياتي نَحَت هذه المعادلات على حجر عند جسر بروگهام Brougham. ومع أن هذه المعادلات قد دُفنت الآن تحت جدرانيات graffitiفقد نصبت هناك لوحة تخليدا للاكتشاف.

قد يبدو غريبا أن نكون بحاجة إلى نقاط في فضاء رباعي الأبعاد لوصف تغيرات تتم في فضاء ثنائي الأبعاد، لكن هذا صحيح. فثلاثة من الأعداد تأتي من وصف الدوران، والتي يمكن إدراكها بيسر إن تصورنا أننا نحاول قيادة طائرة. فحتى نوجه الطائرة نحتاج إلى مراقبة الانطلاق the pitch، أو الزاوية مع الخط الأفقي. كما قد نحتاج إلى تصويب الحركات المفاجئة، بالدوران يسارا أو يمينا، كما تفعل السيارة. وأخيرا، قد نحتاج إلى ضبط الدوران: زاوية جناحي الطائرة. أما العدد الرابع الذي نحن بحاجة إليه فيستخدم لوصف التمديد أو التقليص.

وقد أمضى <هملتون> بقية حياته مشدوها بالمرباعيات ووجد لها العديد من التطبيقات. أما اليوم فقد عُوّضت المرباعيات في تلك التطبيقات بأبسط أبناء عمومتها: وهي المتجهات vectors، التي يمكن اعتبارها مرباعيات من الشكل الخاص ai + bj + ck (إن العدد الأول هو صفر بالضبط). ولا تزال  المرباعيات تحافظ على مكانتها: فهي تزودنا بطريقة فعالة لتمثيل دورانات ثلاثية الأبعاد في الحاسوب وتظهر في جميع الأماكن حيثما هناك حاجة إلى ذلك، من نظام التحكم في وضع مركبة فضائية إلى محرك رسوم لعبة ڤيديو.

تخيّليات لا حدود لها^(****)

وعلى الرغم من هذه التطبيقات فقد نتساءل عما يمثّل، بالضبط، j و k إذا سبق أن عرّفنا الجذر التربيعي لـ-1 بأنه يساوي i. وهل هذه الجذور التربيعية لـ-1 موجودة حقًا؟ وهل بمقدورنـا مواصلة ابتكار جذور تربيعية لـ -1 كما يطيب لنا؟

كانت هذه الأسئلة قد طُرحت من قبل المحامي <J. گريڤس> [صديق هملتون في المرحلة الجامعية الأولى] وكانت أهميتها ذات طابع فضولي في الجبر، مما جعل <هملتون> يفكر في الأعداد العقدية وفي الثلاثيات قبل غيرها. وفي اليوم التالي مباشرة لجولته التاريخية في خريف عام 1843، بعث <هملتون> رسالة إلى <گريڤس> يصف فيها إبداعه. وقد أجابه <گريڤس> بعد تسعة أيام يثني على فكرته النيّرة، ولكنه أضاف: «لازال هناك أمر في النظام يحيّرني. فليست لدي حتى الآن رؤية واضحة حول مدى حريتنا في إنشاء التخيّلياتimaginaries، وكيفية تزويدها بخواص خارقة.» ثم يسأل «إن كنتم بخِيميائكم تستطيعون صناعة ثلاثة جنيهات ذهبية فلِمَ تتوقفون عند هذا الحد؟»

وكما فعل <كاردانو> فقد ترك <گريڤس> انشغالاته الأخرى جانبا لمدة كافية حتى يجني الثمار بنفسه. وفي 23/12/1843 كتب من جديد إلى <هملتون> واصفا نظام أعداد جديد ثماني الأبعاد سمّاه الثمانيات⁽⁴⁾ octaves، ويطلق عليه حاليا مثمانيات octonions. ومع ذلك لم يتمكن <گريڤس> من إثارة اهتمام <هملتون> بأفكار. وقد وعد <هملتون> بالحديث عن ثمانيات <گريڤس> في الجمعية الملكية الإيرلندية، وهي إحدى طرق نشر النتائج الرياضياتية آنذاك. غير أن <هملتون> استمر بتأجيل ذلك، وفي عام 1845 أعاد الشـاب الموهوب <A. كيلي> اكتشاف المثمانيات، فأغلق بذلك طريق النشر على <گريڤس>. ولهذا السبب تسمى أحيانا المثمانيات بأعداد <كيلي>.

ما وراء المستقيم الحقيقي رياضيات في أبعاد متعددة(*****)    في المدرسة الابتدائية تعلمنا الربط بين الأفكار المجردة للجمع والطرح وبين العمليات الإجرائية – تحريك الأعداد نحو أعلى وأسفل المستقيم العددي. وصار هذا الربط بين الجبر والهندسة ذا فعالية مذهلة. ولذلك استطاع الرياضياتيون استخدام جبر المِثْمانيات لحل مسائل بلغة ثمانية الأبعاد يصعب تخيلها. وتُظهر الأشكال أدناه كيف يتم توسيع العمليات الجبرية على مستقيم الأعداد الحقيقية إلى الأعداد العقدية (الثنائية الأبعاد). الأعداد الحقيقية    (1) إن الجمع على طول مستقيم الأعداد الحقيقية عملية بسيطة: يكفي إزاحة كل عدد نحو اليمين بالمقدار الذي نضيفه.    (2) الطرح يتم بالطريقة نفسها، لكن هنا نزيح الأعداد نحو اليسار.    (3) في الضرب نمدد المستقيم العددي نحو الخارج بعامل ثابت.    (4) القسمة تكافئ تقليص النقاط على المستقيم العددي. الأعداد العقدية    (1) للأعداد العقدية مركبتان: الجزء الحقيقي الذي يقاس على المحور الأفقي، والجزء التخيلي (رمزه i) الذي يقع على المحور الشاقولي. فجمع عددين عقديين يزيح العدد الأول نحو اليمين بمقدار الجزء الحقيقي ونحو الأعلى بمقدار الجزء التخيلي.    (2) وبالمثل، عندما نطرح أعدادا عقدية نزيح نقطة الانطلاق إلى اليسار بمقدار الجزء الحقيقي وإلى الأسفل بمقدار الجزء التخيلي.    (3) الضرب يوجد حيث تبدأ المتعة: تماما كما هو حال الأعداد الحقيقية. فالضرب يمدد العدد العقدي. وزيادة على ذلك فالضرب في i يدير النقطة عكس عقارب الساعة بمقدار 900 درجة.    (4) القسمة تقلص العدد العقدي، تماما كما هو الحال في الأعداد الحقيقية. القسمة على i تدير أيضا العدد العقدي باتجاه عقارب الساعة بمقدار 900 درجة.

 

مشاهدة الأبعاد الأربعة مشكل الدورانات(******)    في الحالة العادية يمكنكم ضرب الأعداد في أي ترتيب تشاؤون, على سبيل المثال: 2 x ب3 =ب3 x 2. أما في نظم الأعداد العالية الأبعاد مثل المرباعيات والمثمانيات فالترتيب بالغ الأهمية. لنعتبر المرباعيات، التي تصف الدورانات في حالة ثلاثية أبعاد. عندما تأخذ شيئا، مثل الكتاب، فالترتيب الذي نُدير وفقه هذا الكتاب له أهمية كبيرة في وضعيته الأخيرة. على يمين الصف العلوي، نقلبُ الكتاب شاقوليا، ثم نديره فتظهر حافة الصفحات. وفي الصف السفلي، ندير الكتاب ثم نقلبه فيظهر العمود الخلفي للكتاب. اقلب ثم أدر   أدر ثم اقلب

 

لماذا لم يمِلْ <هملتون> إلى المثمانيات؟ لسبب واحد، فقد كان منكبا تماما على البحث في مبتكراته الشخصية، وهي المرباعيات quaternions، وكان له أيضا سبب علمي محض: تتعارض المثمانيات مع بعض القوانين الحسابية التي يحافظ عليها.

لقد كانت المرباعيات غريبة إلى حد ما. فعندما تضرب أعدادا حقيقية، فليس ثمة مشكلة في ترتيب إجراء عملية الضرب، فمثلا: 2ب3xب = 3ب2xب؛ أي إن عملية الضرب تبديلية commutative. وينطبق ذلك على الأعداد العقدية. ولكن المرباعيات ليست تبديلية noncommutative. فترتيب إجراء عملية الضرب فيها مهم.

والترتيب مهم لأن المرباعيات تصف دورانات في فضاء ثلاثي الأبعاد، والترتيب في تلك الدورانات يُحدِث فرقا في حاصل العمليات. ويمكن أن تتأكد من ذلك بنفسك [انظر الإطار في هذه الصفحة]. خذ كتابا واقلبه رأسا على عقب (بحيث تكون بعد ذلك تشاهد صفحة الغلاف الخلفي)، ثم أدره ربع دورة في اتجاه عقارب الساعة (كما لو كان يشاهَد من الأعلى). والآن قم بالعمليتين التاليتين بترتيب عكسي: أدره أولا ربع دورة، ثم اقلبه. فستلاحظ أن الوضعية النهائية مختلفة، لأن النتيجة تتعلق بالترتيب، وهذا يعني أن الدورانات ليست تبديلية.

تعتبـر المثمـانيـات أكثـر غرابة. وليس ذلـك فحسب لكونها غيـر تبديلية، بل أيضا لأنها لا تخضع لقانون آخر مألوف في الحساب: إنه القانون التجميعي(x(yz)ي= associative law (xy)z : فمثـلا، إن عمـلية الطرح غير تجميعية:(1– (2– 3)  يختلف عن (1 – 2) –3 . ولكننا ألفنا كون عملية الضرب تجميعية ومازال الأمر كذلك بالنسبة إلى معظم الرياضياتيين، مع أنهم اعتادوا القيام بعمليات غير تبديلية. فالدورانات مثلا تجميعية مع أنها غير تبديلية.

ويبدو أن الأهم من ذلك هو كون الفائدة من المثمانيات في زمن <هملتون> لم تكن واضحة. فقد كانت المثمانيات مرتبطة ارتباطا وثيقا بالهندسة السُّباعية والثمانية الأبعاد، وكان بالإمكان وصف الدورانات في سياق هذه الأبعاد باستخدام ضرب المثمانيات. ولكن ذلك لم يكن، لقرن من الزمن، سوى رياضة فكرية محضة. وكان لا بد من انتظار تقدم فيزياء الجزيئات الحديثة – وبصفة خاصة نظرية الأوتار – لإدراك مدى فائدة المثمانيات في العالم الحقيقي.

تناظر وأوتار^(*******)

في سبعينات وثمانينات القرن العشرين، قام الفيزيائيون النظريون، بتطوير فكرة بالغة الجمال سمّيت التناظر الفائق supersymmetry. (وبعد ذلك، أدرك الباحثون أن نظرية الأوتار تحتاج إلى مفهوم التناظر الفائق.) فهي تنصّ على أن الكون في أكثر مستوياته الأساسية، يُظهر تناظرا بين المادة وقوى الطبيعة. وكل جزيء مادة (مثل الإلكترون) له جزيء شريك يحمل قوة. وكل جزيء قوة (مثل الفوتون، حامل القوة الكهرمغنطيسية) له جزيء مادة توأم.

في نظرية الأوتار، ترسم الأوتار الأحادية البعد مساحات ثنائية الأبعاد. وفي النظرية M M-theory ترسم الأغشية الثنائية الأبعاد أحجاما ثلاثية الأبعاد. وإضافة هذه الأبعاد إلى الأبعاد الثمانية للمثمانيات تزودنا بقرائن تدلنا على السبب الذي يجعل هذه النظريات تتطلب 10 أو 11 بعدا.

 

والتناظر الفائق ينطوي أيضا على الفكرة القائلة بأن قوانين الفيزياء ستظل من دون تغيير لو بادلنا بين جميع المادة وجميع جزيئات القوى. تخيّل أنك تشاهد الكون من خلال مرآة غريبة، التي بدلا من أن تبادل بين اليسار واليمين، تقايض كل جزيء قوة بجزيء مادة، والعكس بالعكس. فإذا كان التناظر الفائق صحيحا وكان يصف حقا كوننا، فإن هذا الكون المرآة mirror universe يكون تماما مثل كوننا. ومع أن الفيزيائيين لم يتوصلوا إلى أي تأكيد تجريبي ملموس يدعم قيام التناظر الفائق، فإن النظرية تظل ذات جمال أخّاذ أدى إلى رياضيات رائعة، مما جعل العديد من الفيزيائيين يأملون ويتوقعون أن يكون التناظر الفائق حقيقة.

إلا أن هناك أمرا نعلم أنه حقيقة، وهو الميكانيك الكمومي. وحسب هذا الميكانيك فإن الجزيئات تمثل أيضا موجات. وفي الصيغة المعيارية الثلاثية الأبعاد للميكانيك الكمومي الذي يستخدمه الفيزيائيون يوميا، يوجد نمط واحد من الأعداد (يسمى سپينُرات⁽⁵⁾ spinors) يصف الحركة الموجية لجزيئات المادة. ويوجد نمط آخر من الأعداد (يسمى متجهات vectors) يصف حركة الموجة لجزيئات القوة. وإذا أردنا فهم تفاعلات الجزيئات، فعلينا أن نجمع هذين النمطين. ومع أن النظام الذي نستخدمه لغاية الآن قد يكون صالحا، لكنه غير أنيق البتة.

وكبديل، لنتخيّل كونا غريبا من دون زمن، ليس فيه سوى الفضاء. فإذا كان لهذا الكون بعد واحد أو اثنان أو أربعة أو ثمانية أبعاد، فإن كلا من جزيئات المادة والقوة سيوصَف موْجيا بنمط واحد من الأعداد – وهو عدد في جبر قسمةdivision algebra، وهذا الجبر هو النظام الوحيد الذي يسمح بالجمع والطرح والضرب والقسمة. وبعبارة أخرى، فإن المتجهات والسپينُرات تتطابق فيه: فكل واحد منهما مجرد أعداد حقيقية أو أعداد عقدية أو مرباعيات أو مثمانيات. فالتناظر الفائق يبرز بصفة طبيعية شريطة أن يكون هناك وصف موحد للمادة والقوى. فالضرب البسيط يصف التفاعلات، وجميع الجزيئات – بغض النظر عن نمطها – تستخدم نظام الأعداد نفسه.

إلا أن عالمنا اللعبة plaything لا يمكن أن يكون حقيقيا, لأننا بحاجة إلى أن نأخذ الزمن في الاعتبار. ولهذا الاعتبار في نظرية الأوتار أثر مثير للاهتمام. ففي كل لحظة من الزمن يمثّل الوتر شيئا وحيد البعد، كما مثل المنحنى أو المستقيم. ولكن هذا الوتر سيرسم بمرور الزمن سطحا ثنائي الأبعاد [انظر الشكل في الصفحة 31]. وهذا التطور يغيّر الأبعاد التي يظهر فيها التناظر الفائق, وذلك بالجمع مرتين – مرة للوتر ومرة للزمن. وبدلا من التناظر الفائق في بعد واحد أو اثنين أو أربعة أو ثمانية أبعاد فإننا نحصل على تناظر فائق في ثلاثة أو أربعة أو ستة أو عشرة أبعاد.

وعرضيا، كان منظرو الأوتار يرددون خلال سنوات أن صيغ الأبعاد العشرة للنظرية هي الوحيدة المتسقة ذاتيا self-consistent. أما الحالات الأخرى فإنها تعاني خللا في الطرح سُمّي تشوّهات anomalies، حيث يؤدي حساب الشيء نفسه بطريقتين مختلفتين إلى جوابين مختلفين. فنظرية الأوتار تفشل فيما عدا الأبعاد العشرة. غير أن نظرية الأوتار العشرية الأبعاد، كما رأينا آنفا، هي نسخة من النظرية التي تستخدمها المثمانيات. وبالتالي، إذا كانت نظرية الأوتار صحيحة، فإن المثمانيات ليست مجرد فضول؛ بل على العكس من ذلك، فهي تكشف عمق السبب الذي يجعل الكون ذا عشرة أبعاد: في عشرة أبعاد. تُدرَج جزيئات المادة والقوة في نمط الأعداد نفسه – وهي المثمانيات.

ولكن هذا ليس نهاية القصة. فقد شرع الفيزيائيون حديثا في تجاوز الأوتار في أبحاثهم وذلك بأن أخذوا في الاعتبار الأغشية membranes. وعلى سبيل المثال، فإن الغشاء الثنائي 2-brane، يبدو في كل لحظة كالورقة. وبمرور الزمن يرسم الغشاء حجما ثلاثي الأبعاد في الزمكان spacetime.

وفي حين كان ينبغي علينا، في نظرية الأوتار، إضافة بعدين إلى مجموعتنا المعيارية المؤلفة من واحد واثنين وأربعة وثمانية أبعاد، صار من الضروري اليوم إضافة ثلاثة أبعاد. ولذلك، عندما يتعلق الأمر بالأغشية علينا أن نتوقع بروز التناظر الفائق بشكل طبيعي في أربعة وخمسة وسبعة و 11 بعدا. وكما هو الحال في نظرية الأوتار، هناك مفاجأة تنتظرنا: يخبرنا الباحثون أن النظريةM ⁽⁶⁾ M-theory تتطلب 111 بعدا الأمر الذي يستوجب استعمال المثمانيات بشكل طبيعي. وللأسف، لا أحد يفهم النظرية M بما يكفي حتى لكتابة معادلاتها الأساسية (بحيث إن الحرف M يمكن في هذه الحالة أن يرمز أيضا إلى الحرف الأول من mysterious). إنه من الصعب أن نحدد بدقة الشكل الذي قد تأخذه هذه النظرية مستقبلا.

ولغاية الآن، ينبغي الإشارة إلى أن نظرية الأوتار والنظرية M لم تتنبآ بأي شيء يمكن التأكد منه تجريبيا. فهاتان النظريتان هما بمثابة أحلام جميلة ليس إلاّ. فالكون الذي نعيش فيه لا يبدو ذا 10 أبعاد أو 11 بعدا، ولم نلحظ أي تناظر بين جزيئات المادة والقوة. وحاليا، يقدر <D. گروس> [وهو أحد كبار الخبراء العالميين في نظرية الأوتار]، بنحو 50 في المئة رجحان الحصول على بعض شواهد التناظر الفائق في المصادم الهدروني الكبير Large HadronCollider التابع للمنظمة الأوروبية للبحث النووي (CERN). أما المتشائمون فيقولون إن تلك النسبة أقل من ذلك بكثير. والأيام وحدها ستكشف لنا ذلك.

وبسبب هذا الغموض مازال الطريق أمامنا طويلا لمعرفة ما إذا كانت للمثمانيات الغريبة أهمية أساسية لفهم العالم الذي نعيش فيه، أو أن الأمر ليس سوى بعض الرياضيات الجميلة. وبالطبع، فإن جمال الرياضيات هدف نبيل في حد ذاته، لكن الأمر سيكون أكثر متعة لو اتضح أن المثمانيات تندرج ضمن ما جاد به نسيج الطبيعة. وكما يبين تاريخ الأعداد العقدية والعديد من التطورات الرياضياتية الأخرى فمن المؤكد أنها لن تكون المرة الأولى التي تزوّد فيها الإبداعات الرياضياتية البحتة الفيزيائيين بالأدوات الدقيقة التي سيحتاجون إليها مستقبلا.

المؤلفان

	John C. Baez – John Huerta
<باييز> فيزيائي رياضياتي يعمل حاليا في مركز سينگاپور للتقانات الكمومية. وكان قد بحث في مسائل الفيزياء الأساسية.   <هويرتا> يستكمل أطروحته للدكتوراه في الرياضيات بجامعة كاليفورنيا حول بحثه أسس التناظر الفائق supersymmetry.

  مراجع للاستزادة

 

An Imaginary Tale: The Story of the Square Root of -1. Paul J. Nahin. Princeton University Press, 1998.

 

The Octonions. John C. Baez in Bulletin of the American Mathematical Socienty, Vol. 39, pages 145-205; 2002. Paper and additional bibliography at http://math.ucr.edu/home/baez/octonions

 

Ubiquitous Octonions. Helen Joyce in Plus Magazine, Vol. 33; January 2005. http://plus.maths.org/content/33

 

(*)THE STRANGEST NUMBERS IN STRING THEORY

(**)THE IMAGINARY MADE REAL

(***)HAMILTON’S ALCHEMY

(****)IMAGINARIES WITHOUT END
(*****)MATH IN MULTIPLE DIMENSIONS

(******)THE PROBLEM WITH ROTATIONS

(*******)SYMMETRY AND STRINGS

 

(1) انظر: «الكون الذكي»، ، العددان (2007) 8/7، ص 74: كتابان جديدان يقولان إن الوقت قد حان لإسقاط نظرية الأوتار. وانظر بهذا الصدد أيضا «نظرية كل شيء اللامدركة»، العددان (2011) 2/1، ص 36.
(2) geometric meaning

(3) algebra

(4) تعني octaves لدى المسيحيين سلسلة من الأعياد تدوم ثمانية أيام، وفي الموسيقى الصوت نفسه ثماني مرات.

(5) أو: لفّافات.
(6) يرمز الحرف M إلى الحرف الأول من membrane = غشاء.