التسلية بالرياضيات

التسلية بالرياضيات

غطاء أم الدودة

<I.ستيوارت>

تبحث المسألة المعروفة بمسألة غطاء أم الدودة في إيجاد أصغر منطقة مستوية يمكن أن تغطي أي منحن طوله يساوي الواحد. إنه اسم غريب لهذه المسألة، لكن لو تخيلنا المنطقة كغطاء والمنحني كدودة مسترخية، نجد أن أمها تحتاج إلى ما سنسميه «الغطاء الشامل» الذي يمكن بوساطته تغطية الدودة الطفلة مهما كان الوضع الذي تأخذه. ومنذ عشرات السنين وضع الرياضياتي <L.موزر> (من جامعة ألبرتا في كندا) سؤالا محيرا لم يُحل حتى الآن هو: ما شكل الغطاء الشامل الذي له أصغر مساحة؟

يوجد حل واضح لهذه المسألة العامة وهو قرص دائري نصف قطره يساوي الواحد ومساحته الكلية  أي 3.1411 تقريبًا. فإذا وَضَعتْ الدودة الطفلة رأسها في مركز القرص فإن المسافة القصوى بين نهاية ذيلها ورأسها تساوي وحدة قياس واحدة. في عام 1973 قام العالمان<J.C.گريتس> و<D.G.پول> (من جامعة إمبوريا) بوصف غطاء شامل خماسي الشكل مساحته 0.286 وحدة مربعة. ولم يستطع أحد حتى أمد قريب إيجاد أي شكل أصغر. ولكن منذ عدة أشهر أرسل لي <D.رينولدز> (من هيئة أنظمة الاعتماد (CSC) في بيڤرتون بولاية أوريگون) برهانا على وجود غطاء شامل بشكل رباعي مساحته أو 0.239 تقريبا. وتبدو نتيجة رينولدز في هذا الحقل من الرياضيات مثيرة؛ إذ إن إجراء بعض التعديل على طريقته ربما يؤدي إلى أغطية أقل مساحة. وإن ردود القراء لتحسين هذه النتيجة سينظر إليها باهتمام، ولكننا نرجو أن يتم إرسال البرهان أو الإيضاح التجريبي لكون الشكل المقترح غطاء شاملا.

لشرح طريقة رينولدز، سأبدأ أولا باستخدامها في برهان أن نصف الدائرة التي قطرها يساوي الواحد والتي مساحتها 8/ أي 0.3922 تقريبا هي غطاء شامل. لنفترض أنه لدينا وضع ما للدودة الطفلة، ارسم عندئذ خطا مستقيما يصل بين رأسها وذيلها (إذا كانت الدودة الطفلة ملتفة حول نفسها بشكل حلقة مغلقة، ارسم عندئذ أي خط مستقيم يقطع جسمها). بعد ذلك أوجدْ أصغر مستطيل يحوي الدودة الطفلة؛ حيث يجب أن يتوازى ضلعا المستطيل مع المستقيم الأول الذي رسمته [انظر الشكل أدناه]. لنُسَمِّ هذا المستطيل رقعة. إن العرض w للرقعة يقع بين الصفر والواحد. كما يمكن حساب الارتفاع من أجل أيw. ونعلم هنا أن أكبر ارتفاع من أجل أي رقعة هو  وهو ما نحتاج إليه عندما تنام الدودة الطفلة بشكل مثلث متساوي الساقين.

يمكن إنشاء الرقع المستطيلة بحيث تغطي أي منحن (في الأعلى). وأطول رقعة نحتاج إليها عندما يشكل المنحني ضلعي مثلث متساوي الساقين (في اليسار). ويمكن للأسرة بكاملها من مثل هذه الرقع أن تُرتَّبَ لتملأ نصف دائرة (في الوسط). وعند قص الجزء الأعلى نتوصل إلى غطاء شامل أصغر (في اليمين).

وهكذا نكون قد حددنا مجموعة من الرقع (رقعة من أجل كل w) تشكل بمجموعها غطاء شاملا. وبغض النظر عن الكيفية التي تتكور فيها الدودة الطفلة، فإن رقعة واحدة على الأقل من هذه المجموعة ستغطيها. ويمكننا بذلك صنع غطاء شامل عن طريق لصق تلك الرقع بعضها ببعض. وقد سمّى رينولدز هذا الغطاء باللحاف المرقع للدودة الطفلة. وعلى الرغم من أن الغطاء أقرب إلى المزخرف منه إلى المرقع فإن وصل الرقع بعضها ببعض لا يتم بالضرورة عند الأطراف، إذ يمكن أن يتداخل بعضها في بعض، وكلما كان التداخل أكثر كان ذلك أفضل. ومهما كانت الكيفية التي يتم بها ترتيب الرقع فإنها تشكل بمجموعها الغطاء الشامل. ولكي نثبت ذلك، نتصور أن الدودة الطفلة قد تكوّرت بشكل ما، ويمكن بذلك إيجاد تلك الرقعة التي تغطيها؛ لأن اللحاف المرقع يحتوي حتما على تلك الرقعة المناسبة مع مساحة إضافية.

إن مهمتنا التالية هي تنضيد الرقع للحصول على أصغر لحاف ممكن. فإذا تم ترتيب الرقع بصورة متناظرة بحيث تكون قواعدها على استقامة واحدة، فإنها ستغطي نصف دائرة قطرها 1. وبذلك نكون قد وصلنا إلى برهان ما وعدنا به، وهو أن نصف الدائرة بالفعل غطاء شامل. لكن لا يوجد سبب خاص يجعلنا نختار هذا الترتيب، كما أنه ليس من الضروري أن تكون الرقع مستطيلات. كما أننا لا نحتاج عمليا إلى المجال من 0 إلى 1 من أجل كل عرض. وبملاحظة أن الرقعة تكون مربعة عندما ، نجد أن أي رقعة يكون ارتفاعها أكبر من  يمكن تدويرها بمقدار 900 درجة ليصبح ارتفاعها أقل من. إن حذف هذه الرقع من نصف الدائرة الموشّاة بالرقع يسمح لنا بقص قطعة ضيقة من جزئها العلوي، الأمر الذي يقلل المساحة ويحافظ على الشمولية.

وباستخدام حجة معقدة نوعا ما تعتمد على تدوير الدودة الطفلة ذاتها استنتج رينولدز أنه يمكن حذف جميع الرقع التي يكون عرضها w أصغر من 1/2. فضلا عن ذلك فإن الارتفاع الأعظمي المطلوب للرقعة هو فقط في المنتصف. أما في الأمكنة الأخرى فيتم تعيين الارتفاع بجزء من قطع ناقص. إن دمج هذه التحسينات يقودنا إلى الغطاء الشامل المبين في الشكل التوضيحي (a). ويبدو للوهلة الأولى أننا استفدنا من هذه الطريقة الاستفادة القصوى الممكنة. ولكن يجب أن ندرك أننا نستطيع أن نقلب الغطاء رأسا على عقب. فإذا وصلت الدودة الطفلة إلى حدود القطع الناقص للرقعة، وليكن أن تصل إلى قمة الحرف على يمين المركز. وهكذا يمكن أن نقص جزءا من الحرف الأيمن العلوي لكل رقعة. وبلصق الرقع الناتجة نحصل على غطاء محدود بجزء من قطع ناقص بثلاث قطع مستقيمة.

لدى إنشاء هذه الرقع، نفترض أن رأس الدودة الطفلة وذيلها مثبتان بصورة ما في الأسفل. أما جزء القطع الناقص الواقع على الحدود فيأتي من رقعة واحدة فقط ـ تلك التي عرضها 1/2 [الموضح باللون الأزرق في الشكل (c)]. ويمكن أن نحرك أي دودة داخل تلك الرقعة إلى الطرف الأيمن للغطاء حيث يوجد قدر كبير من السعة الإضافية، وبعد التفكير بعدد من الأشكال المميزة للدودة، استطاع رينولدز أن يبين أن جزء القطع الناقص الواقع على الحرف، إضافة إلى الحرف الشاقولي الأيسر في غطائنا السابق، يمكن تبديلهما بمستقيمين. وتكون عندئذ المساحة الناتجة هي 0.239 تقريبا كما بيّنا سابقا.

يمكن إيجاد الأغطية الأصغر (a) من الرقع التي لها حد قطعي واحد (b). ويمكن أن نصل إلى تحسينات إضافية بالنظر إلى الكيفية التي يمكن أن نحرك فيها الدودة الطفلة تحت الغطاء (c). إن مساحة أصغر غطاء معروف حتى الآن هي (d)0.239.

عند دراسة أسئلة من هذا النوع ـ مسائل الإمثال optimization الهندسية ـ فمن المفيد أن نأخذ في اعتبارنا أنه ربما لا يكون هناك حل وحيد نهائي. حتى ولو وجدنا متتالية من الحلول بحيث يحسِّن كل حل الحل الذي يسبقه، فإن هذه المتتالية ربما لا تكون متقاربة. وقد قدم<R.كورانت> و<E.H. روبينز> مثالا جيدا على ما أعنيه في كتابهما التقليدي ما هي الرياضيات؟ إنها مسألة «خيمة البعوضة الأم» حيث تنام البعوضة الطفلة مرفرفة فوق سطح الأرض بقدم واحدة. وتقوم البعوضة الأم بتغطية طفلتها بغطاء على شكل خيمة تلامس الأرض من جميع جوانبها. ما الخيمة التي تكون مساحة سطحها أصغرية؟

إن الخيمة المخروطية ذات القاعدة الدائرية تفي بالغرض. وكلما كانت القاعدة أصغر كانت مساحة سطح الخيمة أصغر. في الحقيقة يمكن إيجاد خيم مناسبة مساحة كل منها أي عدد أكبر من الصفر. ولو كان بالإمكان تحسين هذه المتتالية لقادنا ذلك إلى أن أفضل حل هو خيمة مساحة قاعدتها صفر، وهذا غير معقول. لأن المخروط الذي مساحة قاعدته تساوي الصفر ليس سطحا وإنما قطعة مستقيمة وبالتالي لا يمكن أن تحتوي بداخلها على البعوضة الطفلة وفق أي مفهوم منطقي. وهكذا فإنه لا يوجد حل أمثل لخيمة البعوضة الأم ـ إذا تم الإصرار على أن تكون الخيمة سطحا.

وبالمثل، فليس واضحا ما إذا كان هناك حل أمثل محدد لغطاء الدودة الأم. إن هذا يعتمد إلى حد ما على أنواع الأغطية التي نأخذها. فعلى سبيل المثال، كل الديدان المضلعة التي طولها يساوي الواحد يمكن أن تغطى بغطاء مساحته تساوي الصفر. هناك كثير من هذه الأغطية، ولكنها في أغلبها ثقوب، وربما من الأفضل أن تسمى هذه المسألة شبكة الأنكليس الأم (نوع من السمك). وبالمقابل فقد برهن <M.J.مارستراند> (من جامعة بريستول بإنكلترا) في عام 1979، أنه لا يوجد غطاء مساحته تساوي الصفر يمكن أن يغطي أي دودة ملساء (وأعني بكلمة أملس هنا المنحني الذي له مماس في كل نقطة منه). وتوحي نتيجة مارستراند أن لغطاء الدودة

حلا معرَّفا تماما، وهو حل ممتع، وربما يكون حل رينولدز هو الحل المنشود. لكن الرياضياتيين الهواة مازالوا يستطيعون التسلية في محاولة إيجاد حلول أفضل. فضلا عن ذلك فإن هناك الكثير من التنويعات لهذه المسألة، وجميعها تقريبا غير محلولة: ما الغطاء الشامل الذي له أصغر محيط؟ ماذا عن مسألة كيس النوم للثعبان، وهو كيس يحتوي بداخله على ثعبان طوله يساوي الواحد ويتلوى في فضاء ثلاثي الأبعاد كيفما يشاء؟ وماذا عن الديدان التي تعيش على سطح كرة؟

ردود القراء

كتب إلينا عدد من القراء للفت انتباهنا إلى خطأ «مفترض» في لعبة الشطرنج على رقعة الگو التي تحدثنا عنها في العدد 2 (1996) ، صفحة 62 من مجلة العلوم . لقد قدمت تلك المقالة لعبة تخمين وانتهت بطرح أحجية، يتحرك فيها الأبيض ويميت الأسود في نقلة واحدة. والإجابة التي أعطيناها كانت O11-j6، وذلك حسب الترميز الذي شرحناه في المقالة. كانت ملاحظة القراء هي أنه كان باستطاعة الأسود أن يتحرك m3-1y، ليصل إلى الوضع المبين بالصورة. ويقول هؤلاء القراء إن «النقلات التي تتركز عند k7 أو j7 أو j8 لا تسمح بهجوم قطري يقضي على الحلقة السوداء، وبذلك لا يموت الأسود.» هذا صحيح، ولكن هناك نقلات أخرى غير التي يفترضها القراء. فالنقلة التي ترتكز إلى j7 قد تتحرك مكانا واحدا إلى أسفل فتصل إلى j6، متخلصة بذلك من البيدق الأسود عند k5والبيدق الأبيض عند j5. وبالرغم من تضحيته ببيدق أبيض، فإن هذا اللاعب سيربح لأن هذه النقلة ستقضي على الحلقة السوداء.