لغز الأعداد الأولية: لماذا تأتي في أزواج؟

كان عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي G.H. Hardy هو من أشاع فكرة أن الأدمغة اليافعة تنتج أفضل الرياضيات. “لا أعرف تقدماً رياضياتياً عظيماً قدَّمه رجل يتجاوز سن الخمسين،” كتب هاردي في اعتذار عالم رياضيات A Mathematician’s Apology، وهو مرثاة لانحدار مستواه الإبداعي نشره في 1940 عند عمر الثانية والستين. “إذا فَقَد رجل متقدم في العمر اهتمامه بالرياضيات وهجرها، فإن ذلك الفقدان ليس شديد الأهمية لا للرياضيات ولا للرجل نفسه.”

إذا كان الشباب المزدهر هو القاعدة، فإن يتانغ زانغ Yitang Zhang لا بد أن يكون استثناءً منها. فخلال معظم العقد الذي تلى إنهاءه للدكتوراه، لم يكن حتى يعمل كعالِم رياضيات، لكنه كان يعمل بوظائف متفرقة بالمحاسبة في ولاية كنتاكي. وفي وقت ما كان يعمل في مطعم سب-واي Subway للمأكولات السريعة. وعندما أعلن عن إنجاز في الرياضيات كان يشكل لغزاً لقرنائه لبضعة قرون، كان عمره 57 عاماً.

ما أعلن عنه زانغ في 2013 لم يكن برهاناً لـ”حدسية الأعداد الأولية التوأم” Twin   Primes conjecture المبجّلة، ولكنه كان خطوةً كبيرةً في ذلك الاتجاه. وحتى إن لم تجر الأمور وفقا للمرغوب به في السنوات التي تلت، إلا أنه ألهم أعمالاً تَعِدُ باكتشافات جديدة في الأعداد الأولية، وهي الأعداد الأكثر غموضاً.

الأعداد الأولية هي تلك الأرقام الأكبر من 1 ولا يمكن قسمتها إلى على 1 أو نفسها. وتبدأ المتسلسلة من 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، وتكمل… لأي مدىً تريد. فالأعداد الأولية هي أساس علم التشفير (التعمية) الحديث، والذي يُبقي تفاصيل بطاقة ائتمانك آمنة حين تتسوق على الإنترنت. ولكن تكمن قوتها الحقيقية في الدور المهمة الذي تؤديه في نظرية الأعداد، وهو فرع الرياضيات الذي يدرس خواص الأعداد الصحيحة.

الأعداد الأولية هي الكيانات الأساسية التي نستأصل منها كل الأرقام، وذلك لأن أي عدد غير أولي يمكن الحصول عليه من ضرب عددين أوليين ببعضهما. “هي ذات الفكرة الموجودة في الكيمياء، حيث قد تحاول فهم مركب ما عن طريق العناصر الذرية التي يتكون منها وكيف ترتبط ببعضها،” يقول جيمس مينارد James Maynard، وهو عالم رياضيات في جامعة أكسفورد University of Oxford.

إن الذهول حول الأعداد الأولية يعود على الأقل حتى الإغريق القدماء. ففي كتابه الأصول The Elements، خرج إقليدس ببرهان جميل يثبت أن الأعداد الأولية توجد إلى ما لا نهاية، لذا ليس هناك أكبر عدد أولي.

لنفترض للحظة أنك تمتلك لائحة من كل الأعداد الأولية. اضربها كلها ببعض، وثم أضف 1، وستحصل على رقم يُعرّف بأنك لا تستطيع قسمته بشكل صحيح على أي من الأعداد الأولية التي كوَّنته: 1 سيكون دائماً هو باقي القسمة. فهو إما قابل للقسمة على عدد أولي آخر ليس موجوداً في اللائحة، أو هو نفسه عدد أولي – مما يجعل اللائحة الأولى غير كاملة. وتستطيع تكرار هذا المنطق على أي لائحة أعداد أولية في البداية؛ لذا يتبع أنه لا توجد لائحة محدودة تحتوي على جميع الأعداد الأولية.

“عندما يأتي الأمر للنظريات المرتبطة بالأنماط التي تحكم الأعداد الأولية، تتشوش الأمور بشكل سريع.”

نرى ذلك البرهان بوضوح الشمس – ولكن عندما يأتي الأمر للنظريات المرتبطة بالأنماط التي تحكم الأعداد الأولية، وبالتحديد، موقع الأعداد الأولية في خط الأعداد المتكوِّن من كل الأعداد الصحيحة بالترتيب، تتشوش الأمور بشكل سريع.

في نهاية القرن التاسع عشر، فإن الفرنسي جاك هادامار Jacques Hadamard والبلجيكي شارل ديلا فالي بوسان Charles de la Vallée Poussin أثبتا بشكل مستقل ما يُعرف بـ”نظرية العدد الأولي” Prime number theorem، والتي تعطي تقريباً لعدد الأعداد الأولية الأصغر من مليون، أو تريليون، أو أي قيمة معينة. فهذه النظرية تخبرنا أنه، على المتوسط، تتباعد الأعداد الأولية كلما ارتفعنا على خط الأعداد. وهذا يتلاءم مثالياً مع تجربتنا بالأعداد الأولية حتى المئة، مثلاً: أول كم عدد، 2، 3، و 5، هي متقاربة من بعضها، بينما هناك فجوة كبيرة بين أكبر عددين أوليين أقل من 100: 89 و 97.

ولكن فوراً بعد المئة نجد الأعداد الأولية 101، 103، 107، و 109 متقاربة إلى حدِّ كبير. بينما هو حقيقي بشكل عام أن الأعداد الأولية الأكبر تتباعد بشكل أكبر، إلا أن هذا فقط على المتوسط: انظر عن قرب، ستجد تصرفها أكثر غموضاً.

وهنا تأتي حدسية الأعداد الأولية التوأم. فضلاً عن 2 و 3، لا يوجد أي عددين متتاليين يشكلان عددين أوليين[1] – فأحدهما لا بد أن يكون عدداً زوجياً؛ يقبل القسمة على 2. ولكن كما تقترح تلك الأعداد الأولية الأولى بعد المئة، هناك العديد من الأعداد الأولية التي يفصلها 2، مثل 3 و5، أو 41 و 43، أو 107 و 109.

التوائم اللامتناهية

حدسية الأعداد الأولية التوأم تتوقع أنه كما أن هناك أعداد أولية لامتناهية، فهناك أزواج لامتناهية من هذه الأعداد الأولية التوأم: أي إن الموفور لن ينفد أبداً. فهناك أسباب جيدة للاعتقاد بصحة هذه الحدسية. أولها هو أننا، بمساعدة الحواسيب، وجدنا عدة توائم أولية كبيرة. إلا أن الأمر قد يعود إلى أن الحاسوب وجد أكبر توأم موجود أصلاً. بشكل أكثر إقناعاً، علماء الرياضيات عندهم نموذج يصدر التوقعات حول كم توأم أولي يجب أن يوجد حتى نقطة معينة على خط الأعداد. وعند التحقق من هذا النموذج بواسطة حاسوب قادر على التعرف على التوائم الأولية في أبعد النطاقات، حيث تعيش الأرقام الضخمة بالفعل، يظهر النموذج دقيقاً بشكل رهيب – و يتوقع أن توجد التوائم الأولية بعدد لامتناهٍ.

ولكن علماء الرياضيات، على الرغم من ذلك، يحتاجون إلى التيقن التام؛ إلى حجة شديدة المنطقية لا تترك مجالاً للشك، من مثل حجة إقليدس “البرهان عبر النقض” Proof by contradiction التي أثبتت وجود أعداد أولية لامتناهية. ولكن على الرغم المحاولة مع حدسية التوائم الأولية لمئات السنين، فشل علماء الرياضيات حتى الآن بالتوصل لهذا النوع من البرهان.

هذا ما سبَّب الصدمة في 2013، حين أثبت زانغ أن هناك أزواجا لامتناهية من الأعداد الأولية المتتالية مع فجوة تقل عن 70 مليونا. بحلول هذا الزمن كان زانغ محاضراً في جامعة نيو هامبشر University of New Hampshire، ولكنه لم ينشر الكثير من الأبحاث، لذا لم توجد أي إشارة تنبئ بحدوث مثل هذا الاكتشاف. إن فبرهانه الراسخ جعل منه نجماً من نجوم الرياضيات بين عشية وضحاها. فانهالت عليه عروض الوظائف من المؤسسات المرموقة من مثل جامعة كاليفورنيا سانتا باربارا University of California Santa Barbara، حيث يعمل حالياً.

ما يثير الدهشة بشكل أكبر هو أن إنجاز زانغ استخدم أسلوباً استبعده من قبل أغلبية أفضل العقول المشتغلة بالرياضيات. “طريقة الغربال” Sieve method هذه بدأت مع عالم الرياضيات الإغريقي القديم إراستوسثينيس Erastosthenes، الذي استخدمها كطريقة عملية لتمييز الأعداد الأولية عن غيرها. ففي حالة إيجاد كل الأعداد الأولية حتى المئة، مثلاً، تعتمد الطريقة على الشطب المنهجي لكل الأرقام غير الأولية. ولكن هذه الأداة كليلة جداً لدراسة تلك الأنماط المحددة للأعداد الأولية، لذا فقد حسّن علماء الرياضيات من أدواتهم للغربلة عبر القرون.

وقبل نحو عقد من الزمن، ابتكر دانييل غولدستون Daniel Goldston، خانوس بينتز János Pintz، و سيم يلدريم Cem Yildirim نسخة معدلة من الغربال والتي قاربت بشكل مبهر أن تثبت وجود أزواج لامتناهية من الأعداد الأولية تفترق بـ16 كحد أعلى. ولكن لجعلها تعمل، اضطروا إلى افتراض صحة حدسية أخرى غير مبرهنة. هذه طريقة مقبولة عُرفياً للمضي قدماً، ولكنها تعني أن النتيجة لا تعطي برهاناً كاملاً. ومن جهة أخرى، استطاع زانغ تعديل طريقة الغربال حتى لا تعتمد على الافتراضات غير المبرهنة.

إثبات وجود أعداد أولية متتالية لا تتفارق بأكثر من 70 مليونا قد لا يبدو باهراً حين يكون الفارق الهدف هو 2، ولكن 70 مليونا هو أقل بكثير من المالانهاية. والأكثر أهمية هو أن هذه هي المرة الأولى التي استطاع فيها أحدهم إثبات وجود أعداد أولية لامتناهية بفجوة تقل عن عدد محدد متناهٍ. “فقط امتلاكك لرقم ما يُعدَّ شيئاً استثنائياً،” يقول أندرو غرانفيل Andrew Granville، وهو عالم نظرية أعداد من جامعة مونتريال University of Montreal و جامعة يونفرستي كولج لندن University College London. “حاول الجميع إيجاد برهانٍ بطرق مماثلة وأنا لم أعتقد جدياً بإمكانية هذا الأمر.”

وفور ما نُشر البرهان، اجتمع علماء الرياضيات لفهم أسلوب زانغ. فالرقم 70 مليونا بحد ذاته لم يكن أفضل ما أثبته زانغ بنفسه، لذا اجتمع الآخرون لتقوية تفاصيل البرهان. التحرك تمت قيادته من قبل سكوت موريسون Scott Morrison والجامعة الوطنية الأسترالية Australian National University، ومن بعده الفائز بميدالية فيلدز تيري تاو Terry Tao من جامعة كاليفورنيا لوس أنجيليس University of California Los Angeles، والذي بدأ بدوره جهداً تكافلياً على الإنترنت باستخدام نظام بوليماث Polymath للتعامل مع المسألة بأسلوب أكثر نظاميةً. وتقوم مشاريع بوليماث على مبدأ أن كل المساهمين يستطيعون العمل على مسألة غير محلولة، ويتعاونون بشكل علني على المدونات والويكيات.

“إن برهان زانغ غير القابل للاختراق جعل منه نجماً من نجوم الرياضيات بين عشية وضحاها.”

عمل الأمر بشكل جميل في هذه الحالة: خلال أشهر استطاع التعاون أن يثبت وجود أزواج لامتناهية من الأعداد الأولية حيث الفجوة بينها هي أصغر من أو تساوي 4680. ومن ثم توقف التقدم. فقد استخلص علماء رياضيات بوليماث أفضل ما استطاعوه من حجة زانغ، واحتاجوا إلى أدوات جديدة للتقدم أكثر.

لقد تطلب الأمر وجهة نظر جديدة من مينارد، والذي كان آنذاك طالب دراسات عليا في جامعة مونتريال بكندا، حتى تتقلص الفجوة مرةً أخرى. وبالعودة إلى عمل غولدستون، بينتز، و يلدريم، وجد طريقة جديدة لاستخدام غربال كان أبسط من غربال زانغ وأعطى نتيجة أفضل في ذات الوقت: هناك أزواج لامتناهية من الأعداد الأولية بفارق لا يزيد على 600.

وبحلول أبريل 2014، عاد مشروع البوليماث للعبة، وباستخدام الطريقة الجديدة، أنزل الفجوة من 600 إلى أصغر من أو تساوي 246؛ مما يشكل تحسناً كبيراً من 70 مليونا، ناهيك عن المالانهاية. وذلك، حتى الآن، هو أحدث ما تم التوصل إليه: كل الطرق التي أوصلتنا إلى هذه المرحلة قد وصلت للمعادل الرياضياتي لحائط القرميد.

تكمن المشكلة في تعريف العدد الأولي، وبطريقة عمل نظرية الغربال. للعدد الأولي دائماً مجرد عامل أولي واحد؛ وهو العدد الأولي ذاته. ويصعب عمل نظرية الغربال حين تبحث فقط عن الأعداد التي لها عدد فردي من العوامل الأولية. “هي بمثابة الرادار الذي يحاول البحث ماسحاً عن الأعداد الأولية، ولكنه يحصل على الكثير من النتائج الخاطئة،” كما يقول مينارد. “لا تستطيع التفرقة بين الأخطاء الناتجة من الأعداد الأولية وبين الأخطاء الناتجة من الأعداد التي تبدو كأعداد أولية ولكنها بالحقيقة تمتلك عاملين أوليين أو أربعة عوامل أولية.” هذا ما يطلق عليه علماء الرياضيات “مسألة التكافؤ” Parity problem، وحتى الآن لا يبدو أن هناك حلاًّ لها.

ولكن لدى مينارد عنده لمحةً من شيء واعد: هو إنجاز حديث يعطي طريقةً للتكبير من التصرف المتوسط للأعداد عبر فترات طويلة من خط الأعداد لفهم الأنماط على فترات أقصر منها. اعتُقد لزمن طويل بصعوبة هذا الأمر، إن لم يكن مستحيلاً. ولكن في 2015، كيزا ماتوماكي Kaisa Matomäki من جامعة توركو في فنلندا University of Turku in Finland، وماكسيم رادزيويل Maxim Radziwill، الذي يعمل حالياً في جامعة ماكغيل McGill University بمونتريال في كندا،استطاعا تحقيق ذلك بالضبط. “أظهرا أنه فيما يقارب كل الحالات، إذا اخترت مكاناً مكبراً ما، ستحصل على أعداد لها عدد زوجي من العوامل الأولية وأعداد لها عدد فردي من العوامل الأولية،” يقول مينارد. “هي نتيجة تقنية تشجعنا كثيراً، لأن هذه الصواميل والمسامير نستطيع استخدامها في أماكن أخرى.”

بالتأكيد، استخدم تاو بالفعل هذا المنظور لحل حدسية شاولا، وهي “نسخة مصغرة” من حدسية الأعداد الأولية التوأم، والتي ابتكرت كوسيلة للتقدم نحو ذلك البرهان. بالنظر إلى متسلسلة الأرقام بدءاً بـ 1×3، 2×4، 3×5، 4×6، 5×7، أظهر أن عدداً ما في هذه المتسلسلة من المرجح له على قدم التساوي أن يمتلك عدداً فردياً أو عدداً زوجياً من العوامل الأولية.

لا يتعامل أي من هذين التطورين بشكل مباشر مع حدسية الأعداد الأولية التوأم وعلى الرغم من أن غرانفيل كان “مصدوماً” لرؤية نتيجة ماتوماكي و رادزيويل، لم يقتنع بعد بأنها ستساعد مع حدسية الأعداد الأولية التوأم. “ليس واضحاً على الإطلاق كيف سينتهي هذا الأمر،” كما يقول.

هكذا هي طبيعة الرياضيات: لا تعرف حتماً متى سيفاجئك التطور شديد البطء خلف الكواليس ويحقق إنجازاً عظيماً. وبالنسبة إلى مينارد، فإن الإشارات الحالية تبعث الأمل على الأقل. “مجرد أن الناس تعاملوا مع مسألة التكافؤ في سياقات لا تبعد كثيراً عن حدسية التوائم الأولية يجعلني متفائلاً.” قد تتوفر لدينا أسرار التوائم قريباً، ولكن قد يتطلب الأمر بطلاً أسطورياً مثل زانغ لتحقيق الإنجاز.

مسائل أولية

إن أحجية الأزواج اللامتناهية ليست هي اللغز الوحيد للأعداد الأولية.

حدسية غولدباخ Goldbach’s Conjecture

هي التوقع أن كل عدد زوجي أكبر من 4 بالإمكان كتابته كمجموع عددين أوليين فرديين. مثلاً، 10 = 3+7، و 78 = 31+47. قدمها كريستيان جولدباخ Christian Goldbach في 1742، وما زالت غير مثبتة.

أعداد جرمان لامتناهية Infinite Germains

إن عدد جرمان، المسمى تيمناً بصوفي جرمان Sophie Germain، هو عدد أولي يعطي عدداً أولياً آخر إذا ضاعفته وأضفت 1. فعلى سبيل المثال، 29 هو عدد أولي، و (29×2)+1 = 59 هو أيضاً عدد أولي، إذن العدد 29 هو عدد جرمان. ويتوقع علماء الرياضيات وجود عدد لامتناهٍ من أعداد جرمان، ولكن لا يستطيع أحدهم إثبات ذلك.

فرضية ريمان The Riemann Hypothesis

ففي 1859، برنهارد ريمان Bernhard Riemann قدَّم فكرة تقوم فيها دالة زيتا لريمان بأخذ القيمة صفر. وإثبات هذه الحدسية قد يكشف الستار بشكل أكبر عن توزيع الأعداد الأولية. وهي أحدى مشكلات الألفية السبع الخاصة بمعهد كلي للرياضيات Clay Mathematics Institute – أَثبتْ فكرة ريمان و اربح مليون دولار أمريكي.

————————-

فيكي نيل Vicky Neal عالمة رياضيات في جامعة أكسفورد ومؤلفة كتاب ردم الفجوة: المهمة نحو فهم الأعداد الأولية Closing the Gap: The quest to understand prime Numbers (مطبعة جامعة أكسفورد).