علماء الرياضيات توصلوا إلى طريقة جديدة لضرب عددين

الكاتب: جلعاد أميت

المترجم: صفاء كنج

تعد هذه الطريقة التي تعمل فقط في حالة الأعداد الكاملة، نتيجة بارزة في علوم الحاسوب. وعن ذلك يقول جوشوا كوبر Joshua Cooper من جامعة ساوث كارولاينا University of South Carolina: «هذا نبأٌ عظيم.»
لقد ابتكر ديْفيد هارفيDavid Harvey من جامعة نيو ساوث ويلز University of New South Wales في أستراليا، ويوريس فان در هوفن Joris van der Hoeven من كلية الفنون التطبيقية Ecole Polytechnique بالقرب من باريس هذه التقنية الجديدة التي يساعد على فهمها تذكُّر عمليات الضرب الطويلة التي تعلمتموها في المدرسة.
نكتب عددين، أحدهما فوق الآخر، ثم نضرب كل رقم في العدد الأول، بكل رقم في العدد الثاني، ثم نجمع كل النتائج معاً، ويقول كوبر: «هذه خوارزمية قديمة.» فإذا كان كل من العددين يتكون من عدد n من الأرقام، ستحتاج طريقة الضرب هذه إلى إجراء عمليات حساب فردية تبلغ ضعف عدد الأرقام أو n2. ويقول كوبر: “السؤال هو، هل لديك وسيلة أفضل من ذلك؟”

الكثير من الخوارزميات
ابتداءً من ستينات القرن الماضي بدأ علماء الرياضيات بإثبات أنهم قادرون على ذلك. في البدء، توصل أناتولي كاراتسوبا Anatoly Karatsuba إلى خوارزمية يمكنها أن تجد الإجابة خلال ما لا يزيد على n1.58 خطوات، وفي عام 1971، وجد أرنولد شونهيغ Arnold Schönhage وفولكر شتراسن Volker Strassen طريقة لربط عدد الخطوات بالعملية المعقدة .n*(log (n))*log (log (n)) و«log» هنا هي اختصار «خوارزمية» Logarithm.

وكان لهذه التطورات تأثير كبير في الحوسبة. ويقول هارفي إنه بينما قد يستغرق الحاسوب الذي يستخدم طريقة الضرب اليدوي الطويل نحو ستة أشهر لمعرفة حاصل ضرب عددين مكونين من بليوني رقم، يمكن لخوارزمية «شونهيغ – شتراسن» أن تفعل ذلك في غضون 26 ثانية.
اقترحت الورقة البحثية التي مثلت حدثاً بارزاً في عام 1971 أيضاً تحسيناً محتملاً، إذ توقعت بصورة مذهلة أن يكون الضرب ممكناً يوماً ما من خلال خطوات لا تتجاوز n*log(n). ويبدو الآن أن هارفي وفان در هوفن قد أثبتا أن الأمر كذلك بالفعل، ويقول كوبر: «يبدو الأمر في النهاية ممكناً. إنه أمر ذو مصداقية.»

ويقول فريدريك جوهانسون Fredrik Johanssonمن معهد الأبحاث الفرنسية للعلوم الرقمية (اختصاراً: المعهد INRIA) في بوردو: «إذا كانت النتيجة صحيحة، فهذا إنجاز كبير في نظرية التعقيد الحسابي Computational complexity theory .» ويضيف أنه «من المرجح أن تلهم الأفكار الجديدة في هذا العمل إجراء مزيد من الأبحاث وقد تؤدي إلى تحسينات عملية فيما بعد.»
ويشيد كوبر أيضاً بأصالة البحث مع التشديد على تعقيد العمليات الرياضياتية، ويضيف: «قد تقول لنفسك، أنا أضرب عددين صحيحين، فما مدى تعقيد ذلك؟ لكن لا يغرنك الأمر، إنه شديد التعقيد.»
فهل سيجعل هذا حساب الإقرارات الضريبية أسهل؟ يقول هارفي إن الإجابة «بالنسبة إلى الأفراد الذين يستخدمون القلم الرصاص والورق، هي بالطبع لا.» وفي الواقع، يمكن للعلماء تقديم الدليل على نجاح عملهم فقط بالنسبة إلى الأعداد التي تزيد أرقامها على 20 تريليون تريليون تريليون رقم. ويقول هارفي: «كلمة ’فلكي’ لا تكفي بتاتاً لوصف هذا العدد.»

وبينما قد تمدنا التحسينات المستقبلية على الخوارزمية ببراهين تتعلق بأعداد لا تتجاوز بضعة تريليونات من الأرقام، يعتقد كوبر أن قيمتها الحقيقية تكمن في مكان آخر. فمن الناحية النظرية، كما يقول، يتيح هذا العمل للمبرمجين تقديم ضمان نهائي لمدى الوقت الذي تستغرقه خوارزمية معينة. ويقول فان در هوفن: «نحن متفائلون بأن ورقتنا البحثية الجديدة ستتيح لنا تسريع العمليات بصورة أكبر.»
ويعتقد هارفي أن هذا ربما سيكون نهاية المطاف ولن توجد خوارزمية أخرى مستقبلاً قادرة على التغلب على n*log(n). ويضيف «سيكون مفاجئاً جدا إذا تبين خطأ هذا، لكن أشياء غريبة حدثت في الماضي بالفعل.»

©New Scientist