تَوصُّل علماء الرياضيات إلى طريقة جديدة لتحديد الأعداد الأولية

بقلم أليكس ويلكنس

لأول مرة، منذ أكثر من 25 عامًا، أثبت علماء الرياضيات طريقة جديدة لتحديد الأعداد الأولية Prime numbers، وبذلك طوروا مجموعة أدوات قد تسمح بمزيد من التقدم في نظرية الأعداد Number theory.

الأعداد الأولية التي لا يمكن قسمتها إلا على نفسها، أو على واحد، هي اللبنات الأساسية الرياضية للأعداد الصحيحة Whole numbers، وقد استكشف علماء الرياضيات كيفية العثور عليها ودمجها لمئات السنين. يقول بن غرين Ben Green، من جامعة أكسفورد University of Oxford: «لا نتوصل إلى نتائج جديدة بشأن الأعداد الأولية كثيرًا؛ لذلك كلما حصلنا على بعض التطورات الجديدة، نشعر بأنها تطورات تستحق العناء».

من أشهر المشكلات المتعلقة بالأعداد الأولية «مُبرهنة فيرما الأخيرة» Fermat’s last theorem، وهي عبارة اقترحها – لأول مرة – عالِم الرياضيات بيير دي فيرما Pierre de Fermat، في نحو العام 1640، وتنص على أنه لا توجد أعداد صحيحة أو أعداد كاملة، c وb وa، يمكن أن تتناسب مع المعادلة an + bn = cn لأي عدد صحيح؛ عندما يكون الأس n عددًا صحيحًا أكبر من 2.

نظرًا إلى أن الأعداد الصحيحة يمكن تقسيمها إلى الأعداد الأولية المكوِّنة لها؛ فقد أدرك علماء الرياضيات – بسرعة – أن إثبات فكرة فيرما لن يتطلب القيام بذلك إلا في الحالات التي يكون فيها n عددًا أوليًّا، كما يقول أليكس كونتوروفيتش Alex Kontorovich، من جامعة روتجرز Rutgers University في نيوجيرسي. ويشرح قائلا: «لقد اتضح أن هناك العديد من الأسئلة التي إذا أجبت عنها بشأن الأعداد الأولية، فإنك تجيب عنها بالفعل حول جميع الأعداد».

لم ينشر أندرو وايلز Andrew Wiles، الذي كان يعمل آنذاك في جامعة برينستون Princeton University، إثباته المذهل لنظرية فيرما الأخيرة حتى العام 1993، والذي أدى – أيضًا – إلى تحقيق اختراقات في مجالات أخرى من الرياضيات، تتعلق بالأعداد الأولية.

وبعد بضع سنوات، في العام 1998، أثبت عالِما الرياضيات هنريك إيفانيكHenryk Iwaniec وجون فريدلاندر John Friedlander مفهومًا مرتبطًا، فأظهرا أنه يمكنك تكوين أعداد أولية عن طريق إضافة أعداد صحيحة في شكل x² + y4؛ حيث يكون أحد الأعداد نفسه أوليًّا، لكنهما لم يتمكنا من حل نسخة ثانية Variant من معادلتهما، والمعروفة باسم «تخمين الأعداد الأولية الغاوسي» Gaussian primes conjecture، والذي يقول إن هناك عددًا لا نهائيًّا من أزواج الأعداد الأولية x وy؛ حيث إنه عندما يتم دمجها في شكل x² + (2y)² ستعطي أيضًا عددًا أوليًّا.

الآن، حقَّق غرين ومهتاب سواهني Mehtaab Sawhney، من جامعة كولومبيا Columbia University في نيويورك، ذلك تمامًا، في أول نتيجة جديدة بشأن دمج الأعداد لتكوين الأعداد الأولية، منذ إيفانيك وفريدلاندر.

يقول كونتوروفيتش: «انتظر الناس 25 عامًا، ولم تكن لديهم التقنيات اللازمة للحصول على نتيجة بهذه الجودة، لكن [غرين وساوهني] تمَكَّنا من تحقيق ذلك. إنه إنجاز رائع… لقد أعجبت بها بشدة»، كما يقول فريدلاندر.

ولإثبات هذه المقولة، استخدم غرين وساوهني مجموعة أدوات رياضياتية من التقنيات المتطورة، مثل: «مجموع النوع الثاني» Type II sums الذي يمكن أن يساعد على تحديد توزيع الأعداد الأولية، و«قواعد جورز» Gowers norms، وهو نهج اخترعه عالم الرياضيات تيموثي جورز Timothy Gowers، والذي يمكنه الكشف عن الدرجة التي تكون بها مجموعة من الأعداد فوضوية Chaotic، أو أكثر هيكلية Structured.

يقول غرين إن هاتين التقنيتين من عوالم رياضياتية بعيدة، وهي نظرية الأعداد والتركيبات «ربما يكون الشيء الأكثر إثارة للاهتمام، في هذا العمل، هو حقيقة أنه يمكن الجمع بين هذين النوعين المختلفين – إلى حد ما – من المجالات».

بالإضافة إلى كونها نتيجة مهمة، في حد ذاتها، فإن الأدوات التي استخدمها غرين وساوهني لإثبات التخمين يمكن أن تساعد علماء الرياضيات الآخرين على تحقيق اكتشافات خارقة في مجالات أخرى. يقول كونتوروفيتش: «الشيء الأكثر إثارة في الأمر هو جوهر الإثبات، والذي يحتوي على العديد من الأفكار الجديدة. من يدري ما الاكتشافات الخارقة الأخرى التي ستؤدي إليها هذه الأفكار». 

© 2025, New Scientist, Distributed by Tribune Content Agency LLC